Question

已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的范圍.

Answer 1

解法一：∵y=f(x)經(jīng)過原點(diǎn)，∴f(x)=ax²+bx(a≠0).

∴f(-1)=a-b,f(1)=a+b.

∴

∴f(-2)=4a-2b.設(shè)f(-2)=m·(a+b)+n·(a-b)=(m+n)·a+(m-n)·b=4a-2b.

∴

∴

∴f(-2)=a+b+3(a-b).

∵3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,

∴6≤f(-2)≤10.

解法二:∵y=f(x)的圖象過原點(diǎn)，

∴f(x)=ax²+bx(a≠0).

∴f(-1)=a-b,f(1)=a+b.

∴

作出二元一次方程組所表示的aOb平面內(nèi)的平面區(qū)域(如圖)即可行域.

考慮z=4a-2b,將它變形為b=2a-z，這是斜率為2，隨z變化的一組平行直線.-z是直線在b軸上的截距,當(dāng)直線截距最大時(shí),z的值最小.當(dāng)然直線要與可行域相交,即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=4a-2b取得最小值;當(dāng)直線截距最小時(shí),z的值最大.當(dāng)然直線要與可行域相交,即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=4a-2b取得最大值.

由圖可見,當(dāng)直線z=4a-2b經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)截距最大,即z最小.

解方程組得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)，所以z_min=4a-2b=4×2-2×1=6.

當(dāng)直線z=4a-2b經(jīng)過可行域上的點(diǎn)B時(shí)，截距最小，即z最大.

解方程組得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，1).

所以z_max=4×3-2×1=10,所以6≤f(-2)≤10.