Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，E為AC與BD的交點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，M為PA中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)．
（1）證明：直線MN∥平面PCD；
（2）若點(diǎn)Q為PC中點(diǎn)，∠BAD=120°，PA= ，AB=1，求三棱錐A﹣QCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：取PD中點(diǎn)R，連結(jié)MR，CR，

∵M(jìn)是PA的中點(diǎn)，R是PD的中點(diǎn)，

∴MR= AD，MR∥AD，

∵四邊形ABCD是菱形，N為BC的中點(diǎn)，

∴NC= ，NC∥AD．

∴NC∥MR，NC=MR，

∴四邊形MNCR為平行四邊形，

∴MN∥CR，又CR平面PCD，MN平面PCD，

∴MN∥平面PCD．

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴AC=AD=CD=1，∴ ．

∵Q是PC的中點(diǎn)，∴Q到平面ABCD的距離h= PA= ．

∴ ．

【解析】（1）取PD中點(diǎn)R，連結(jié)MR，CR，通過證明四邊形MNCR是平行四邊形得出MN∥CR，于是MN∥平面PCD；（2）棱錐Q﹣ACD的底面△ACD為等邊三角形，高為PA的 ，代入體積公式計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．