Question

已知函數(shù)f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在[1，2]上恒正，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A．(

  1

  2

  ，

  5

  8

  )
• B．(

  3

  2

  ，+∞)
• C．(

  1

  2

  ，

  5

  8

  )∪(

  3

  2

  ，+∞)
• D．(

  1

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：設(shè) g(x) = ax2-x+

1

2

，由g（x）＞0，可得a＞

1

x

-

1

2x2

，故a＞

1

2

，g（x）在[1，2]上是遞增函數(shù)．當a＞1時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，根據(jù)f（1）＞0求出a的取值范圍；當

1

2

＜a＜1時，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，由f（2）＞0求出a的取值范圍，最后把這兩個范圍取并集．

解答：解：設(shè) g(x) = ax2-x+

1

2

，由g(x) = ax2-x+

1

2

＞0，可得 a＞

1

x

-

1

2x2

．
當1≤x≤2時，

1

x

-

1

2x2

的最大值為

1

2

，從而a＞

1

2

．
在a＞

1

2

的前提下，易知函數(shù)g（x）的對稱軸x=

1

2a

 在區(qū)間[1，2]的左邊，
從而g（x）在[1，2]上是遞增函數(shù)．
當a＞1時，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，有f（1）=

log	(a- 1 2 ) a

＞0=log_a¹，∴a＞

3

2

．
當

1

2

＜a＜1時，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，有f（2）=

log	(4a-2+ 1 2 ) a

＞0=log_a¹，
∴4a-2+

1

2

＜1，a＜

5

8

．故有 

1

2

＜a＜

5

8

．
綜上，a＞

3

2

   或 

1

2

＜a＜

5

8

．
故選：C．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．