Question

（2006•黃浦區(qū)二模）設a為正數(shù)，直角坐標平面內(nèi)的點集A={（x，y）|x，y，a-x-y是三角形的三邊長}．
（1）畫出A所表示的平面區(qū)域；
（2）在平面直角坐標系中，規(guī)定a∈Z，且y∈Z時，（x，y）稱為格點，當a=8時，A內(nèi)有幾個格點（本小題只要直接寫出結(jié)果即可）；
（3）點集A連同它的邊界構(gòu)成的區(qū)域記為

.

A

，若圓{(x，y)|(x-p)2+(x-q)2=r2}⊆

.

A

(r＞0)，求r的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的三邊滿足的條件2x+2y＞a； a＞2y；a＞2x，畫出A所表示的平面區(qū)域；
（2）當a=8時，結(jié)合圖形列出A內(nèi)的格點，得到格點個數(shù)，
（3）結(jié)合圖象，當圓與三角形相切時半徑最大，根據(jù)等面積法求出r的最大值．

解答：解：（1）集合A表示一個點集（平面上一組點），這些點的橫縱坐標滿足：2x+2y＞a； a＞2y；a＞2x
其中a是正數(shù)．
表示一個由直線2x+2y=a 和x=

a

2

和y=

a

2

圍成的三角形區(qū)域．

（2）當a=8時，A內(nèi)的格點有（2，3），（3，2），（3，3）共3個格點．
（3）結(jié)合圖象，當圓與三角形相切時半徑最大，根據(jù)等面積法得到

a

2

r+

a

2

r+

2

2

ar=

a

2

×

a

2

解得r=

2- 2

4

a

點評：本題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵，當圓與三角形相切時三角形內(nèi)的圓半徑最大，屬于中檔題．