Question

（本小題滿分12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，點(diǎn)在直線上，直線、分別與橢圓交于、兩點(diǎn)．試問：當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線是否恒經(jīng)過定點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（本小題滿分12分）

解：（I）方法1：橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是 ，

∴，             ………………（2分）

∵，∴，∴橢圓方程為       ………………（4分）

方法2：，可設(shè)橢圓方程為         ………………（2分）

∵在橢圓上，所以（舍去）

∴橢圓方程為                          ………………（4分）

（II）

方法1：當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，、分別與、重合，

若直線通過定點(diǎn)，則必在軸上，設(shè)，………………（6分）

當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，設(shè)，、，，

直線方程，方程，

代入得，

解得，，

∴，              ……………（8分）

代入得

解得，，

∴，               ………………（10分）

∵，

∴，

∴，，

∴當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線恒經(jīng)過定點(diǎn)．……………（12分）

方法2：直線恒經(jīng)過定點(diǎn)，證明如下：

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線即軸，通過點(diǎn)，……………（6分）

當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，設(shè)，、，，

直線方程，方程，

代入得，

得，，∴，……………（8分）

代入得

得，， …………（10分）

∴，直線恒經(jīng)過定點(diǎn)．        ………………（12分）

方法3：∵、、三點(diǎn)共線， 、、三點(diǎn)也共線，

∴是直線與直線的交點(diǎn)，

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)：，代入，

得，，，

直線方程，直線方程，

分別代入，得，，

∴，即，

，

∴對(duì)任意變化的都成立，只能，

∴直線，通過點(diǎn)

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線即軸，通過點(diǎn)，……………（10分）

∴當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線恒經(jīng)過定點(diǎn)．

【解析】略