Question

 (Ⅰ)試比較的大��；

     (Ⅱ)試比較nn+1與(n+1)n(n∈N+)的大小，根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)果猜測(cè)一個(gè)一般性結(jié)論，并加以證明.

Answer 1

解：(Ⅰ)由于，，則；

            又，，則；

            所以. …………………………………………6分

(Ⅱ)當(dāng)n=1,2時(shí)，有nn+1<(n+1)n.………………………………………8分

    當(dāng)n≥3時(shí)，有nn+!>(n+1)n. 證明如下：

    令，.

    又.

    ∴an+1>an即數(shù)列{an}是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列.

    則an>an-1>…>a3>1

    ∴即nn+1>(n+1)n. ……………………………………16分

另證：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x≥3)，f(x)==，

      ∴f(x)=在[3,+∞為遞減函數(shù)，則f(n)>f(n+1)，

即，，∴，

即nn+1>(n+1)n(n≥3時(shí)結(jié)論成立).