Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，設(shè)P是雙曲線右支上一點，

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為|

F1P

|，且它們的夾角為arccos

4

5

，則雙曲線的漸近線方程為

 

．

Answer 1

分析：由已知條件推導出PF₁⊥PF₂，cos∠PF₁F₂=

PF1

F1F2

=

4

5

，再由雙曲線定義能求出雙曲線漸近線方程．

解答：解：∵

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為|

F1P

|，
∴PF₁⊥PF₂，
又∵

F1F2

，

F1P

的夾角為arccos

4

5

，
∴cos∠PF₁F₂=

PF1

F1F2

=

4

5

，
令PF₁=4x，則F₁F₂=5x，PF₂=3x，
由雙曲線定義知PF₁-PF₁=2a，
∴F₁F₂=5x=2c，即c=5a，
∴

b

a

=

c2-a2

a

=2

6

，
∴雙曲線漸近線方程為y=±2

6

x．
故答案為：y=±2

6

x．

點評：本題考查雙曲線的漸近線方程、投影的基本性質(zhì)，解題時要熟練掌握雙曲線的定義、性質(zhì)及應用．