Question

設f（x）=1g（

2

1-x

+a）是奇函數(shù)，且在x=0處有意義，則該函數(shù)是（　�。�

• A、（-∞，+∞）上的減函數(shù)
• B、（-∞，+∞）上的增函數(shù)
• C、（-1，1）上的減函數(shù)
• D、（-1，1）上的增函數(shù)

Answer 1

分析：由f（0）=0，求得a的值，可得f（x）=lg（

1+x

1-x

），由此求得函數(shù)f（x）的定義域．再根據(jù)f（x）=
lg（-1-

2

x-1

），以及t=-1-

2

x-1

在（-1，1）上是增函數(shù)，可得結(jié)論．

解答：解：由于f（x）=1g（

2

1-x

+a）是奇函數(shù)，且在x=0處有意義，
故有f（0）=0，即 lg（2+a）=0，解得 a=-1．
故f（x）=1g（

2

1-x

-1）=lg（

1+x

1-x

）．
令

1+x

1-x

＞0，求得-1＜x＜1，故函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1）．
再根據(jù)f（x）=lg（

1+x

1-x

）=lg（-1-

2

x-1

），函數(shù)t=-1-

2

x-1

在（-1，1）上是增函數(shù)，
可得函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，
故選 D．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，復合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．