Question

【題目】黑板上寫有1，2，…，2014這2014個正整數(shù).現(xiàn)進(jìn)行如下操作：第一步劃去最前面的兩個數(shù)l、2，并在2014后面寫上這兩數(shù)的和3；第二步劃去最前面的三個數(shù)3、4、5，并在最后面寫上這三數(shù)的和12；如此繼續(xù)下去.當(dāng)?shù)凇瓴綍r，黑板上的數(shù)不夠個，停止操作.求在黑板上出現(xiàn)過的不同數(shù)的個數(shù)及這些不同數(shù)的和（若一個數(shù)多次出現(xiàn)，只計(jì)算一次）.

Answer 1

【答案】

【解析】

由于第步后黑板上的數(shù)減少個，故

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顯然，黑板上的所有數(shù)之和是一個不變量.

第步劃去的個數(shù)為，

寫上的數(shù)為.

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

故前14步所寫的數(shù)均小于2014，以后所寫的數(shù)均大于2014.

第62步劃去的數(shù)為這62個數(shù)及，

寫上的數(shù)為.

上述所寫的新數(shù)兩兩不同，故黑板上出現(xiàn)的不同數(shù)有（個）.

黑板上初始的數(shù)為，最后剩下的數(shù)之和為，其中，已出現(xiàn)過，故黑板上出現(xiàn)過的不同數(shù)之和為

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