Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若對(duì)于任意的，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）求出，然后分、、、四種情況討論

（2）不妨設(shè)，則可化為，構(gòu)造函數(shù)，然后條件可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，然后利用二次函數(shù)的知識(shí)即可求出答案.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

．

①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

②若，則當(dāng)或時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

③若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

④若，則當(dāng)或時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

綜上所述，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞增，

在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞增，

在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（2）不妨設(shè)，

則可化為．

令，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以在區(qū)間上恒成立．

即在區(qū)間上恒成立．（*）

因?yàn)?/span>，所以，

所以，要使（*）成立，只需，

解得．

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為．