Question

選修4-5：不等式選講：
（1）已知f（x）=|x-a|，若不等式f（x）≤2解集為{x|-1≤x≤3}，求a的值；
（2）若log₂（|x-a|+|x-3|）≥2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)不等式解集的端點與方程根之間的關(guān)系，我們可得-1和3為方程f（x）=2的兩根，進(jìn)而根據(jù)絕對值的定義，可得a的值；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可將已知轉(zhuǎn)化為|x-a|+|x-3|≥4恒成立，利用絕對值的性質(zhì)可得|a-3|≥4，進(jìn)而根據(jù)“大于看兩邊，小于看中間”，可得a的取值范圍

解答：解：（1）∵不等式f（x）≤2解集為{x|-1≤x≤3}，
∴-1和3為方程f（x）=2的兩根
即|-1-a|=|3-a|=2
解得：a=1
（2）若log₂（|x-a|+|x-3|）≥2恒成立，
∴|x-a|+|x-3|≥4恒成立，
又∵|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|a-3|
∴|a-3|≥4，
∴a-3≥4或a-3≤-4
解得a≥7或a≤-1

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，絕對值不等式的解法，其中熟練掌握函數(shù)零點，方程根與不等式解集端點之間的關(guān)系及絕對值的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．