Question

（2012•淄博一模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知兩點A（-1，0）、B（1，0），若將動點P（x，y）的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的

2

倍后得到點Q(x，

2

y)，且滿足

AQ

•

BQ

=1．
（I）求動點P所在曲線C的方程；
（II）過點B作斜率為-

2

2

的直線l交曲線C于M、N兩點，且

OM

+

ON

+

OH

=

0

，又點H關(guān)于原點O的對稱點為點G，試問M、G、N、H四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）確定向量AQ，BQ的坐標(biāo)，利用

AQ

•

BQ

=1，即可得到動點P所在曲線C的軌跡方程．
（II）假設(shè)l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量知識，確定M，N，G，H的坐標(biāo)，進(jìn)而確定點到四點的距離相等，從而可得結(jié)論．

解答：解：：（I）依據(jù)題意，有

AQ

=（x+1，

2

y），

BQ

=（x-1，

2

y），
∵

AQ

•

BQ

=1，∴x²-1+2y²=1，
∴動點P所在曲線C的軌跡方程是

x2

2

+y²=1．
（II）因直線l過點B，且斜率為k=-

2

2

，故有l(wèi)：y=-

2

2

（x-1）．
聯(lián)立方程組

x2 2 +y 2=1 y=- 2 2 (x-1)

，得2x²-2x-1=0．
設(shè)兩曲線的交點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=

2

2

．
又

OM

+

ON

+

OH

=

0

，點G與點H關(guān)于原點對稱，于是，可得點H（-1，-

2

2

）、G（1，

2

2

）．
若線段MN、GH的中垂線分別為l₁和l₂，則有l(wèi)₁：y-

2

4

=

2

（x-

1

2

），l₂：y=-

2

x．
聯(lián)立方程組，解得l₁和l₂的交點為O₁（

1

8

，-

2

8

）．
因此，可算得|O₁H|=

( 9 8 )2+( 3 2 8  )2

=

3 11

8

，|O₁M|=

(x 1- 1 8 )2+(y 1+ 2 8  )2

=

3 11

8

．
所以，四點M、G、N、H共圓，圓心坐標(biāo)為O₁（

1

8

，-

2

8

），半徑為

3 11

8

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查四點共圓，正確運(yùn)用向量知識，確定圓心坐標(biāo)與半徑是關(guān)鍵，屬于難題．