Question

已知a，b是正數(shù)，且滿足2＜a+2b＜4．那么a²+b²的取值范圍是（　�。�

A．（ 4 5 ， 16 5 ）

B．（ 4 5 ，16）

C．（1，16）

D．（ 16 5 ，4）

Answer 1

以a為橫坐標(biāo)、b為縱坐標(biāo)，在aob坐標(biāo)系中作出不等式2＜a+2b＜4表示的平面區(qū)

域，
得到如圖的四邊形ABCD內(nèi)部，（不包括邊界）
其中A（2，0），B（0，1），C（0，2），D（4，0）
設(shè)P（a，b）為區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
則|OP|=

a2+b2

表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離
∴z=a²+b²=|OP|²，
可得當(dāng)P與D重合時(shí)，P到原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)，
∴z=a²+b²＜(

42+02

)2=16
可得當(dāng)P點(diǎn)在直線BA上，且滿足OP⊥AB時(shí)，
P到原點(diǎn)距離最近，等于

1×2

12+22

=

2 5

5

∴z=a²+b²＞(

2 5

5

)2=

4

5

綜上所述，可得a²+b²的取值范圍是（

4

5

，16）
故選：B