Question

設(shè)虛數(shù)z滿足z2-mtz+

m100

4

=0(m為實(shí)常數(shù)，m＞0且m≠1，t為實(shí)數(shù)）．
（1）求|z|的值；
（2）當(dāng)t∈N^*，求所有虛數(shù)z的實(shí)部和；
（3）設(shè)虛數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為

OA

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），

OA

=(c，d)，如c-d＞0，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二次方程的求根公式求出z，利用復(fù)數(shù)的模的公式求出z的模．
（2）據(jù)z為虛數(shù)得到m^t＜m⁵⁰，通過(guò)對(duì)m分類討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到t的范圍；利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出s．
（3）由（1）求出z的實(shí)部、虛部，通過(guò)對(duì)m分類討論利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍．

解答：解：（1）z=

mt± m100-m2t i

2

，
z=

mt± m100-m2t i

∴|z|=

m2t 4 + m100-m2t 4

=

m50

2

（2）z是虛數(shù)，則m¹⁰⁰-m^2t＞0∴m^t＜m⁵⁰，z的實(shí)部為

mt

2

；
當(dāng)m＞1，得t＜50且t∈N*∴S=2(

m

2

+

m2

2

++

m49

2

)=

m50-m

m-1

0＜m＜1，得t＞50且t∈N*∴S=2(

m51

2

+

m52

2

+)=

m51

1-m

．
（3）解：c=

mt

2

＞0，d=

± m100-m2t

2

①d=-

m100-22t

2

，c＞dd=

m100-m2t

2

，d=-

m100-22t

2

，c＞d恒成立，
由m¹⁰⁰-m^2t＞0∴m^t＜m⁵⁰得，當(dāng)m＞1時(shí)，t＜50；當(dāng)0＜m＜1時(shí)，t＞50．
②d=

m100-m2t

2

，如c＞d，則

mt

2

＞

m100-m2t

2

∴m2t＞

m100

2

即mt＞

m50

2

，
當(dāng)m＞1，

t＜50 t＞50- 1 2 logm2

即50-

1

2

logm2＜t＜50，50-

1

2

logm2＜t＜50．
當(dāng)0＜m＜1，

t＞50 t＜50- 1 2 logm2

即50＜t＜50-

1

2

logm2，50＜t＜50-

1

2

logm2

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次方程的求根公式、考查復(fù)數(shù)模的公式、考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的范圍有關(guān)、考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．