Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD₁、AB、CC₁的中點(diǎn)．
（1）作出過B₁、G、F三點(diǎn)的長(zhǎng)方體的截面（保留作圖痕跡）；
（2）求異面直線A₁E與GF所成角的大�。�
（3）求斜線GF與底面ABCD所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）連接B1G并且延長(zhǎng)B1G交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，再連接FQ交CD于點(diǎn)P，則可得截面為B₁FPG．
（2）連接B₁G，EG，由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征與題中的條件可得：A₁E∥B₁G，得到∠B₁GF為異面直線所成角，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案．
（3）連接FC，由題意可得：GC⊥平面ABCD，所以∠GFC為斜線GF與底面ABCD所成角，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出線面角．

解答：解：（1）如圖所示：截面為B₁FPG．

（2）連接B₁G，EG，
∵E、G分別是DD₁和CC₁的中點(diǎn)，
∴EG∥C₁D₁，而C₁D∥A₁B₁，
∴EG∥A₁B₁，
∴四邊形EGB₁A₁是平行四邊形．
∴A₁E∥B₁G，
所以∠B₁GF為異面直線所成角，
連接B₁F，則FG=

3

，B₁G=

2

，B₁F=

5

，
所以FG²+B₁G²=B₁F²，
所以∠B₁GF=90°，
所以異面直線A₁E與GF所成的角為90°．
（3）連接FC，
由長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的結(jié)構(gòu)特征可得：GC⊥平面ABCD，
所以∠GFC為斜線GF與底面ABCD所成角，
因?yàn)锳A₁=AB=2，AD=1，點(diǎn)F、G分別是AB、CC₁的中點(diǎn)，
所以CG=1，CF=

2

，
所以在△GFC中，tan∠GFC=

GC

FC

=

1

2

=

2

2

，
所以斜線GF與底面ABCD所成角為arctan

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角與線面角，求空間角的步驟是：①?gòu)膸缀误w中找或作出角來，②證明此角是所求角，③再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出空間角．