Question

已知橢圓經過點,離心率為．

(1)求橢圓C的方程：

(2)過點Q(1,0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點,點P(4,3),記直線PA,PB的斜率分別為k₁,k₂,當k₁·k₂最大時,求直線l的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1) .(2) .

【解析】

試題分析：(1) 由已知建立方程組  ①   ②， 即得解.

 (2)兩種思路，一是討論①當直線的斜率為0，②當直線的斜率不為0的情況；二是討論①當直線垂直于x軸，②當直線與x軸不垂直的情況.兩種情況的不同之處在于，直線方程的靈活設出.

第一種思路可設直線的方程為, 第二種思路可設直線的方程為.兩種思路下，都需要聯(lián)立方程組，應用韋達定理，簡化解題過程.

本題是一道相當?shù)湫偷念}目.

試題解析：(1) 由已知可得，所以     ①                1分

又點在橢圓上，所以     ②                2分

由①②解之，得.

故橢圓的方程為.                                    4分

(2)解法一：①當直線的斜率為0時,則;        5分

②當直線的斜率不為0時,設,,直線的方程為,

將代入,整理得.        7分

則,                                  9分

又,,

所以, 

 

                                  11分

令,則

當時即時，；

當時，

 或

當且僅當,即時, 取得最大值.                13分

由①②得,直線的方程為.                   14分

解法二：①當直線垂直于x軸時,則;

②當直線與x軸不垂直時,設,,直線的方程為,

將代入,整理得.

則

又,,

所以,  

令由得或

所以當且僅當時最大，所以直線的方程為.

考點：橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，直線方程，基本不等式，應用導數(shù)研究函數(shù)的最值.