Question

如圖，過(guò)點(diǎn)B（0，-b）作橢圓+=1(a＞b＞0)的弦，求這些弦長(zhǎng)的最大值.

Answer 1

解：設(shè)M（x,y）是橢圓上任一點(diǎn).

|BM|²=x²+(y+b)²=x²+y²+2by+b²,

由+=1,有x²=(b²-y²).

將其代入上式，整理，然后配方有

|BM|²=(1-)y²+2by+(a²+b²)=(1-)·（y-）²+.

∵-b≤y≤b,

(1)當(dāng)b≤c(即b≤a)時(shí)，≤b,∴y=時(shí)，|BM|的最大值為;

(2)當(dāng)b＞c(b＞a)時(shí)，＞b,故y=b時(shí)，點(diǎn)M在（0，b），即y軸上之頂點(diǎn)位置，|BM|²的最大值為（1-）(b-)²+=4b².

∴|BM|的最大值為2b.