Question

若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則 

1

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先求出圓心和半徑，由弦長公式求得圓心到直線2ax-by+2=0的距離d=0，直線2ax-by+2=0經(jīng)過圓心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．

解答：解：圓x²+y²+2x-4y+1=0 即 （x+1）²+（y-2）²=4，圓心為（-1，2），半徑為 2，
設圓心到直線2ax-by+2=0的距離等于 d，則由弦長公式得 2

4-d2

=4，d=0，即
直線2ax-by+2=0經(jīng)過圓心，∴-2a-2b+2=0，a+b=1，
則 

1

a

+

1

b

=

a+b

a

+

a+b

b

=2+

b

a

+

a

b

≥2+2

b a • a b

=4，當且僅當a=b時等號成立，
故式子的最小值為 4，故答案為 4．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，弦長公式以及基本不等式的應用．