Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（Ⅱ）求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，可得 a²+b²+c² 的最小值為

1

3

．
（Ⅱ）由a，b，c均為正實(shí)數(shù)，可得

1

2

(

1

2a

+

1

2b

)≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，同理

1

2

(

1

2b

+

1

2c

) ≥

1

b+c

，

1

2

(

1

2c

+

1

2a

)≥

1

c+a

，相加可得不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閍，b，c 均為正實(shí)數(shù)，由柯西不等式得，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

 時(shí)等號(hào)成立，
∴a²+b²+c² 的最小值為

1

3

． …5分
證明：（Ⅱ）∵a，b，c均為正實(shí)數(shù)，∴

1

2

(

1

2a

+

1

2b

)≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；
則

1

2

(

1

2b

+

1

2c

)≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立；

1

2

(

1

2c

+

1

2a

)≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，當(dāng)且僅當(dāng)c=a時(shí)等號(hào)成立；
三個(gè)不等式相加得，

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．…10分

點(diǎn)評：本題考查用綜合法證明不等式，利用了關(guān)于正數(shù)的基本不等式

x+y

2

≥

xy

，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．