Question

已知點(diǎn)A（λcosα，λsinα）（λ≠0），B(

1

2

，-

3

2

)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）若α=

π

6

時(shí)，不等式|

AB

|≥2|

OB

|有解，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）若|

AB

|≥2|

OB

|對(duì)任意實(shí)數(shù)α恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

（1）|

AB

|≥2|

OB

|有解，即(λcosα-

1

2

)2+(λsinα+

3

2

)2≥4（2分）
等價(jià)于：λ2+1+2λsin(α-

π

6

)≥4，代入α=

π

6

得：λ²≥3（4分）
即    λ∈(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)（6分）
（2）|

AB

|≥2|

OB

|對(duì)任意的實(shí)數(shù)α恒成立，即(λcosα-

1

2

)2+(λsinα+

3

2

)2≥4對(duì)任意的實(shí)數(shù)α恒成立，即λ2+1+2λsin(α-

π

6

)≥4對(duì)任意的實(shí)數(shù)α恒成立     （8分）
所以

λ＞0 λ2-2λ+1≥4

或

λ＜0 λ2+2λ+1≥4

（12分）
解得：λ≥3或λ≤-3．故所求實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）．（14分）