Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示切線方程關(guān)鍵是切點(diǎn)和切點(diǎn)出的斜率值。
（2）求解導(dǎo)數(shù)，然后對于含有參數(shù)的二次不等式的解集進(jìn)行分類討論得到。
解：（I）時(shí),,
于是,,
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（II）
=，
∵，∴ 只需討論的符號．
ⅰ）當(dāng)＞2時(shí)，＞0，這時(shí)＞0，所以函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．ⅱ）當(dāng)= 2時(shí)，≥0，函數(shù)在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．
ⅲ）當(dāng)0＜＜2時(shí)，令= 0，解得，．
當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：

	+	0	－	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴在，為增函數(shù)，在為減函數(shù)；
【備注題】（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)；若不存在，請說明理由．
當(dāng)∈（1，2）時(shí)，∈（0，1）．由（2）知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故當(dāng)∈（0，1）時(shí)，，所以當(dāng)∈（0，1）時(shí)恒成立，等價(jià)于恒成立．
當(dāng)∈（1，2）時(shí)，，設(shè)，則，表明g(t) 在（0，1）上單調(diào)遞減，于是可得，即∈（1，2）時(shí)恒成立，因此，符合條件的實(shí)數(shù)不存在.