Question

【題目】已知點在上，以為切點的的切線的斜率為，過外一點（不在軸上）作的切線、，點、為切點，作平行于的切線（切點為），點、分別是與、的交點（如圖）：

（1）用、的縱坐標、表示直線的斜率；

（2）若直線與的交點為，證明是的中點；

（3）設三角形面積為，若將由過外一點的兩條切線及第三條切線（平行于兩切線切點的連線）圍成的三角形叫做“切線三角形”，如，再由、作“切線三角形”，并依這樣的方法不斷作切線三角形……，試利用“切線三角形”的面積和計算由拋物線及所圍成的陰影部分的面積

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）設切線方程為， 代入數(shù)據(jù)計算得到答案.

（2）設，計算得到，，，計算得到得到答案.

（3）根據(jù)（2）知確定的切線三角的面積為，繼續(xù)下去可得算式

，計算得到答案.

（1）設切線方程為， .

（2）設，則，所以（為的縱坐標），

設，利用切線方程得即兩式相減得

由前面計算可知，平行于橫軸，可得.

將代入得：，由，所以為的中點.

（3）設由（2）的結(jié)論可知

由確定的切線三角的面積為

后一個切線三角形的面積是前一切線三角形面積的由此繼續(xù)下去可得算式

.