Question

【題目】數(shù)獨(dú)游戲越來越受人們喜愛，今年某地區(qū)科技館組織數(shù)獨(dú)比賽，該區(qū)甲、乙、丙、丁四所學(xué)校的學(xué)生積極參賽，參賽學(xué)生的人數(shù)如表所示：

中學(xué)	甲	乙	丙	丁
人數(shù)	30	40	20	10

為了解參賽學(xué)生的數(shù)獨(dú)水平，該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學(xué)的參賽學(xué)生中抽取30名參加問卷調(diào)查．
（Ⅰ）問甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？
（Ⅱ）從參加問卷調(diào)查的30名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率；
（Ⅲ）在參加問卷調(diào)查的30名學(xué)生中，從來自甲、丙兩所中學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，用X表示抽得甲中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加數(shù)獨(dú)比賽的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名， 抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為 ，
所以甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取的學(xué)生人數(shù)分別為9，12，6，3．
（Ⅱ）設(shè)“從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，這兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)”為事件A，
從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的取法共有 種，
來自同一所中學(xué)的取法共有 ．
所以 ．
答：從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率為 ．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名學(xué)生中，來自甲、丙兩所中學(xué)的學(xué)生人數(shù)分別為9，6．
依題意得，X的可能取值為0，1，2，
，
，
．
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P

【解析】（Ⅰ）四所中學(xué)報(bào)名參加數(shù)獨(dú)比賽的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100名，抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值 ，由此能求出甲、乙、丙、丁四所中學(xué)各抽取的學(xué)生人數(shù)．（Ⅱ）從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的取法共有 種，來自同一所中學(xué)的取法共有 ，由此能求出從30名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率． （Ⅲ）依題意得，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解分層抽樣的相關(guān)知識(shí)，掌握先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟�，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本，以及對(duì)離散型隨機(jī)變量及其分布列的理解，了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．