Question

已知函數(shù)f(x)=ax²+bx+c（a≠0）滿足f(0)=0，對于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(+x)=f(-x)，令g(x)=f(x)-|λx-1|（λ＞0）。
(1)求函數(shù)f(x)的表達式；
(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)研究函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上的零點個數(shù)。

Answer 1

解：（1）∵f(0)=0，
∴c=0，
∵對于任意x∈R都有，
∴函數(shù)f(x)的對稱軸為，即，得a=b，
又f(x)≥x，即對于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且，　　　　
∵，
∴b=1，a=1，　　　　
∴。
（2），
①當時，函數(shù)的對稱軸為，
若，即0＜λ≤2，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增；
若，即λ＞2，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當時，函數(shù)的對稱軸為，　
則函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述，當0＜λ≤2時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； 
當時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和．
（3）①當0＜λ≤2時，由(2)知函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，　　　　　
又，　　　　　
故函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上只有一個零點；
②當λ＞2時，則，而，　　　　
，
（�。┤�2＜λ≤3，由于，
且，
此時，函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上只有一個零點；
（ⅱ）若λ＞3，由于且＜0，
此時，函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上有兩個不同的零點；
綜上所述，當0＜λ≤3時，函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上只有一個零點；當λ＞3時，函數(shù)g(x)在區(qū)間（0，1）上有兩個不同的零點．