Question

（本小題滿分13分）
(1)3人坐在有八個(gè)座位的一排上，若每人的左右兩邊都要有空位，則不同坐法的種數(shù)為幾種？
(2)有5個(gè)人并排站成一排，如果甲必須在乙的右邊，則不同的排法有多少種？
(3)現(xiàn)有10個(gè)保送上大學(xué)的名額，分配給7所學(xué)校，每校至少有1個(gè)名額，問名額分配的方法共有多少種？

Answer 1

解：(1)由題意知有5個(gè)座位都是空的，我們把3個(gè)人看成是坐在座位上的人，往5個(gè)空座的空檔插，由于這5個(gè)空座位之間共有4個(gè)空，3個(gè)人去插，共有A₄³＝24(種)．
(2)∵總的排法數(shù)為A₅⁵＝120(種)，
∴甲在乙的右邊的排法數(shù)為A₅⁵＝60(種)．
(3)法一：每個(gè)學(xué)校至少一個(gè)名額，則分去7個(gè)，剩余3個(gè)名額分到7所學(xué)校的方法種數(shù)就是要求的分配方法種數(shù)．
分類：若3個(gè)名額分到一所學(xué)校有7種方法；
若分配到2所學(xué)校有C₇²×2＝42(種)；
若分配到3所學(xué)校有C₇³＝35(種)．
∴共有7＋42＋35＝84(種)方法．
法二：10個(gè)元素之間有9個(gè)間隔，要求分成7份，相當(dāng)于用6塊檔板插在9個(gè)間隔中，共有C₉⁶＝84種不同方法．
所以名額分配的方法共有84種．

略