Question

【題目】（已知冪函數(shù)f（x）=x ，（k∈Z）滿足f（2）＜f（3）．
（1）求實數(shù)k的值，并求出相應的函數(shù)f（x）解析式；
（2）對于（1）中的函數(shù)f（x），試判斷是否存在正數(shù)q，使函數(shù)g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在區(qū)間[﹣1，2]上值域為 ．若存在，求出此q．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（2）＜f（3），可得冪函數(shù)f（x）=x ，（k∈Z）為增函數(shù)，

則﹣k2+k+2＞0，解得：﹣1＜k＜2，

又k∈Z，∴k=1或k=0，

則f（x）=x2

（2）解：由g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x=﹣qx2+（2q﹣1）x+1，

其對稱軸方程為x= ，

由q＞0，得 ，

當 ，即 時，

= ．

由 ，解得q=2或q= （舍去），

此時g（﹣1）=﹣2×（﹣1）2+3×（﹣1）+1=﹣4，g（2）=﹣2×22+3×2+1=﹣1，

最小值為﹣4，符合要求；

當 ，即 時，g（x）max=g（﹣1）=﹣3q+2，g（x）min=g（2）=﹣1，不合題意．

∴存在正數(shù)q=2，使函數(shù)g（x）=1﹣qf（x）+（2q﹣1）x在區(qū)間[﹣1，2]上值域為 ．

【解析】由f（2）＜f（3）可知該冪函數(shù)單調(diào)遞增，由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到﹣k2+k+2＞0，解出k的值，從而得到f（x）的解析式，（2）由（1）表示出g（x）的解析式，整理后表示出對稱軸方程，對對稱軸大于-1和小于等于-1進行分析討論可得到q的值.