Question

在平面直角坐標系中，已知點A（-1，0），B（1，0），動點P滿足：

PA

•

PB

=m(|

OP

•

OA

|2-

OB

2)
（1）求動點P的軌跡方程，并根據(jù)m的取值討論方程所表示的曲線類型；
（2）當動點P的軌跡為橢圓時，且該橢圓與直線l：y=x+2交于不同兩點時，求此橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用直譯法來求動點P的軌跡方程，設(shè)出P點坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，由

PA

•

PB

=m(|

OP

•

OA

|2-

OB

2)，得，（m-1）x²-y²=m-1，再按m的取值討論，當m＞1時，x²與y²前面的系數(shù)符號相反，所以為雙曲線，當m=1時，為y=0，是x軸所在直線．當0＜m＜1時，x²與y²前面的系數(shù)符號相同，且x²前面的系數(shù)小于y²前面的系數(shù)，是焦點在x軸上的橢圓；當m=0時，方程為x²+y²=1，是單位圓；當m＜0時，x²與y²前面的系數(shù)符號相同，且x²前面的系數(shù)大于y²前面的系數(shù)，焦點在y軸上的橢圓．
（2）由（1）知，當m＜0或0＜m＜1時，曲線表示橢圓，橢圓方程與直線l：y=x+2聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，因為橢圓與直線l交于不同兩點，所以△＞0，得到m的一個范圍，再把a，b，c用m表示，代入離心率公式，把離心率e用含m的式子表示，根據(jù)m的范圍，求出m的范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），則

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，-y），

OP

=（x，y），

OA

=（-1，0），

OB

=（1，0）
∴

PA

•

PB

=x²+y²-1，

OP

•

OA

=-x，
∵

PA

•

PB

=m(|

OP

•

OA

|2-

OB

2)，∴x²+y²-1=m（x²-1）化簡得，（m-1）x²-y²=m-1，
當m＞1時，m-1＞0，曲線為雙曲線；
當m=1時，方程為y=0，是x軸所在直線；
當0＜m＜1時，-1＜m-1＜0，曲線為焦點在x軸上的橢圓；
當m=0時，方程為x²+y²=1，是單位圓；
當m＜0時，m-1＜-1，曲線為焦點在y軸上的橢圓；
（2）

y=x+2 (m-1)x2-y2=m-1

⇒（m-2）x²-4x-m-3=0，△＞0⇒m＜-2，a²=1-m，b²=1，∴c²=-m，e2=

m

m-1

(m＜-2)得m=

e2

e2-1

＜-2，得

2

3

＜e2＜1⇒e∈(

6

3

，1)．

點評：本題主要考查了直譯法求軌跡軌跡方程，一元二次方程表示曲線的判斷，以及橢圓離心率的求法．