Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且滿足
（1）求常數(shù)p的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若抽去數(shù)列中的第一項(xiàng)、第四項(xiàng)、第七項(xiàng)、…第3n-2項(xiàng)，…，余下的項(xiàng)按原來的順序組成一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，試寫出數(shù)列
{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)n的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，求得，由存在常數(shù)p，使得數(shù)列a_n為等比數(shù)列，求出（2p+2）²=2（2p²+2p=4），由此能求出常數(shù)p的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)得：（i）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，；（ii）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，b_n=a_3k-1=2^3k-1，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由{b_2n-1}是首項(xiàng)為b₁=4，公式q=8的等比數(shù)列，知{b_2n}是首項(xiàng)b₂=8，公比q=8的等比數(shù)列，由此能求出．假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則=1+=，即．由此能夠推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，．
解答：解：（1）由，
得，
∵存在常數(shù)p，使得數(shù)列a_n為等比數(shù)列，
∴a=a₁a₃，即（2p+2）²=2（2p²+2p=4），
∴p=1．
故數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)是非，公比為2的等比數(shù)列，即，
此時(shí)，也滿足，
則所求常數(shù)p的值為1，且（n∈N^*）．
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)得：
（i）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，；
（ii）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，b_n=a_3k-1=2^3k-1，
∴．
（3）∵{b_2n-1}是首項(xiàng)為b₁=4，公式q=8的等比數(shù)列，
{b_2n}是首項(xiàng)b₂=8，公比q=8的等比數(shù)列，則
（i）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，
T_n=T_2k=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=
=
=．
（ii）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，
T_n=T_2k-1=T_2k-b_2k=
=
=．
即．
假設(shè)存在正整數(shù)n滿足條件，則=1+=，
∴．
則（i）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，
===，
解得8^k=8，k=1．
即當(dāng)n=2時(shí)，滿足條件．
（ii）當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，
====，
解得8^k=，
∵k∈N^*，∴此時(shí)無滿足條件的正整數(shù)n．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查正整數(shù)是否存在的探究．考查數(shù)列、不等式知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．