Question

(本小題滿分16分)已知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．（Ⅰ）若數(shù)列的前項和為,且,,求整數(shù)的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試問數(shù)列中是否存在一項，使得恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)項的和？請說明理由；（Ⅲ）若（其中，且（）是（）的約數(shù)），求證：數(shù)列中每一項都是數(shù)列中的項.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) 不存在 （Ⅲ）見解析

（Ⅰ）由題意知，，所以由，
得……3分
解得，又為整數(shù)，所以………………………………………………………5分
（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列中存在一項，滿足，
因為，∴（*）…………8分
又
=，所以，此與（*）式矛盾. 所以，這要的項不存在……11分
（Ⅲ）由，得，則 ………………12分
又，
從而，因為，所以，又，
故. 又,且（）是（）的約數(shù),所以是整數(shù),且………14分
對于數(shù)列中任一項（這里只要討論的情形），有

，
由于是正整數(shù)，所以一定是數(shù)列的項……………16分