Question

甲乙兩地需修建一條240公里的高速公路，該段高速公路兩端的收費(fèi)站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的收費(fèi)站之間修路面和等距離修建安全出口．經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)安全出口的工程費(fèi)用為400萬(wàn)元．鋪設(shè)距離為x公里的相鄰兩安全出口之間的道路費(fèi)用為x²+x萬(wàn)元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬(wàn)元．
（1）試將y表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）需要修建多少個(gè)安全出口才能使y最小，其最小值為多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，列出余下工程的總費(fèi)用的函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合自變量x的實(shí)際意義：x表示相鄰兩增壓站之間的距離，確定出函數(shù)的定義域即可．
（2）依據(jù)（1）中得出的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得函數(shù)y的最大值，最后回到原實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，則（k+1）x=240，即k=

240

x

-1．
所以y=400k+（k+1）（x²+x）=

96000

x

+240x-160．
因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，則0＜x≤240．
故y與x的函數(shù)關(guān)系是y=

96000

x

+240x-160（0＜x≤240）．
（2）y=

96000

x

+240x-160≥2

96000 x ×240x

-160=2×4800-160=9440．
當(dāng)且僅當(dāng)

96000

x

=240x，即x=20時(shí)取等號(hào)．此時(shí)，k=

240

x

-1=11．
故需要修建11個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為9440萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．