Question

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且an＝Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式．

(2)設bn＝，Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n，是否存在最大的正整數(shù)k，使得

對于任意的正整數(shù)n，有Tn＞恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）2n（2）存在

【解析】(1)由已知an＝Sn－1＋2，①

得an＋1＝Sn＋2.②

②－①，得an＋1－an＝Sn－Sn－1(n≥2)，

∴an＋1＝2an(n≥2)．

又a1＝2，∴a2＝a1＋2＝4＝2a1，

∴an＋1＝2an(n＝1,2,3，…)，

∴數(shù)列{an}是一個以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.

(2)bn＝＝＝，∴Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＝＋＋…＋，Tn＋1＝bn＋2＋bn＋3＋…＋b2(n＋1)＝＋＋…＋＋＋.

∴Tn＋1－Tn＝＋－＝＝.

∵n是正整數(shù)，∴Tn＋1－Tn＞0，即Tn＋1＞Tn.

∴數(shù)列{Tn}是一個單調遞增數(shù)列．又T1＝b2＝，∴Tn≥T1＝，

要使Tn＞恒成立，則＞，即k＜6.又k是正整數(shù)，故存在最大正整數(shù)k＝5使Tn＞恒成立．