Question

¹⁰=a+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，其中a_k （k=0，1，2，…，9，10）都是常數(shù)，則a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先將¹⁰變形為（）¹⁰[1+（x+1）]¹⁰，再利用二項(xiàng)式定理展開可得¹⁰=（）¹⁰+（）¹⁰C₁₀¹（1+x）¹+（）¹⁰C₁₀²（1+x）²+…+（）¹⁰C₁₀¹⁰（1+x）¹⁰；結(jié)合題意，可得a₁=（）¹⁰C₁₀¹，a₂=（）¹⁰C₁₀²，…a₁₀=（）¹⁰C₁₀¹⁰，進(jìn)而可得a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（）¹⁰C₁₀¹+（）¹⁰C₁₀²+…（）¹⁰C₁₀¹⁰=（）¹⁰[C₁₀¹+2C₁₀²+…+10C₁₀¹⁰]，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（）¹⁰×10×[C₉+C₉¹+…+C₉⁹]=（）¹⁰×10×2⁹，計(jì)算可得答案．
解答：解：¹⁰=（）¹⁰[1+（x+1）]¹⁰=（）¹⁰+（）¹⁰C₁₀¹（1+x）¹+（）¹⁰C₁₀²（1+x）²+…+（）¹⁰C₁₀¹⁰（1+x）¹⁰；
根據(jù)題意，¹⁰=a+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，
則a=（）¹⁰，a₁=（）¹⁰C₁₀¹，a₂=（）¹⁰C₁₀²，…a₁₀=（）¹⁰C₁₀¹⁰，
則a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（）¹⁰C₁₀¹+2（）¹⁰C₁₀²+…+10（）¹⁰C₁₀¹⁰，
=（）¹⁰[C₁₀¹+2C₁₀²+…+10C₁₀¹⁰]，
又由mC_n^m=nC_n-1^m-1，則C₁₀¹=10C₉，2C₁₀²=10C₉¹，…，10C₁₀¹⁰=10C₉⁹，
即a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（）¹⁰×10×[C₉+C₉¹+…+C₉⁹]=（）¹⁰×10×2⁹=5；
故答案為5．
點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵要靈活運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．