Question

【題目】已知橢圓E： =1的離心率為 ，點F1 ， F2是橢圓E的左、右焦點，過F1的直線與橢圓E交于A，B兩點，且△F2AB的周長為8．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）動點M在橢圓E上，動點N在直線l：y=2 上，若OM⊥ON，探究原點O到直線MN的距離是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓E： =1的離心率為 ，且△F2AB的周長為8，

所以 ，

解得a=2，b= ，

所以橢圓E的標準方程為 + =1

（2）解：①若直線ON的斜率不存在，

則|OM|=2 ，|ON|=2，|MN|=4，

所以原點O到直線MN的距離為d= = ；

②若直線ON的斜率存在，

設直線OM方程為y=kx，

代入 + =1，解得x2= ，

y2= ；

則直線ON的方程為y=﹣ x，代入y=2 ，

解得N（﹣2 k，2 ）；

所以|MN|2=|OM|2+|ON|2=（ + ）+（12k2+12）= ；

設原點O到直線MN的距離為d，

則|MN|d=|OM||ON|，

得d2= =3，

所以d= ；

綜上，原點O到直線MN的距離為定值

【解析】（1）根據題意列出方程組求出a、b的值，寫出橢圓E的標準方程；（2）①直線ON的斜率不存在，計算原點O到直線MN的距離d的值；②直線ON的斜率存在，設出直線OM、ON的方程，求出點M、N，計算|MN|2、|OM|2、|ON|2，求出原點O到直線MN的距離d，即可得出結論．