Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

．
（1）若f(a)•(e-1)=

∫

e1

f(x)dx，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=

∫

t1

f(x)dx成立？并給予證明；
（3）結(jié)合定積分的幾何意義說(shuō)明（2）的幾何意義．

Answer 1

（1）∵f(a)•(e-1)=

∫

e1

f(x)dx，∴

1

a

•(e-1)=

∫

e1

1

x

dx=lnx

|

e1

=，1∴a=e-1…（3分）
（2）

∫

t1

f(x)dx=

∫

t1

1

x

dx=lnx

|

t1

=lnt
設(shè)

1

a

•(t-1)=lnt，∴a=

t-1

lnt

…（5分）
下面證明a∈[1，t]：a-1=

t-1

lnt

-1=

t-1-lnt

lnt

設(shè)g（t）=t-1-lnt（t＞1）則g′(t)=1-

1

t

=

t-1

t

＞0(∵t＞1)
∴g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1時(shí)lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a-t=

t-1

lnt

-t=

t-1-tlnt

lnt

設(shè)h（t）=t-1-tlnt（t＞1）則h′(t)=1-(1•lnt+t•

1

t

)=-lnt＜0(∵t＞1)
∴h（t）在（1，+∞）上為減函數(shù)，當(dāng)t＞1時(shí)h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1時(shí)lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
綜上：當(dāng)t＞1時(shí)，存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=

∫

t1

f(x)dx成立．…（11分）
（3）連續(xù)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的定積分等于該區(qū)間上某個(gè)點(diǎn)x₀的函數(shù)值f（x₀）與該區(qū)間長(zhǎng)度的積，即

∫

ba

f(x)dx=f(x0)•(b-a)其中x₀∈[a，b]…（14分）