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        1. 已知定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足:
          f(0)=f(
          π
          4
          )=1
          ;②f(m+n)+f(m-n)=2f(m)cos2n+8sin2n(m,n∈R).
          則(1)f(
          π
          2
          +x)+f(x)
          =
          4
          4
          ;
          (2)函數(shù)f(x)的最大值是
          2+
          2
          2+
          2
          分析:(1)將
          π
          2
          +x變形為(
          π
          4
          +x)+
          π
          4
          ,x變形為(
          π
          4
          +x)-
          π
          4
          ,根據(jù)題意代入②中,利用特殊角的三角函數(shù)值化簡即可求出值;
          (2)令m=
          π
          4
          ,n=
          π
          4
          +x,根據(jù)題意代入②中,利用特殊角的三角函數(shù)值化簡,表示出f(
          π
          2
          +x)+f(-x),記作(i),令m=0,n=x,根據(jù)題意代入②中,利用特殊角的三角函數(shù)值化簡,表示出f(
          π
          2
          +x)-f(-x),記作(ii),(ii)-(i)表示出f(x)-f(-x),記作③,令m=0,n=x,根據(jù)題意代入②中,利用特殊角的三角函數(shù)值化簡,表示出f(x)+f(-x),記作④,(③+④)÷2得到f(x)的解析式,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最大值.
          解答:解:(1)由題意得:f(
          π
          2
          +x)+f(x)=f[(
          π
          4
          +x)+
          π
          4
          ]+f[(
          π
          4
          +x)-
          π
          4
          ]=2f(
          π
          4
          +x)cos
          π
          2
          +8sin2
          π
          4
          =8×(
          2
          2
          2=4;
          (2)令m=
          π
          4
          ,n=
          π
          4
          +x,
          根據(jù)題意得:f(
          π
          4
          +
          π
          4
          +x)+f(
          π
          4
          -
          π
          4
          -x)=f(
          π
          2
          +x)+f(-x)
          =2f(
          π
          4
          )cos(
          π
          2
          +2x)+8sin2
          π
          4
          +x)=4-2sin2x(i),
          又由(1)得f(
          π
          2
          +x)+f(x)=4(ii),
          ∴(ii)-(i)得:f(x)-f(-x)=4-(4-2sin2x)=2sin2x③,
          令m=0,n=x,
          根據(jù)題意得:f(0+x)+f(0-x)=f(x)+f(-x)=2cos2x+8sin2x=2cos2x+8×
          1-cos2x
          2
          =4-2cos2x④,
          (③+④)÷2得:f(x)=2-(sin2x+cos2x)=2-
          2
          sin(2x+
          π
          4
          ),
          ∵sin(2x+
          π
          4
          )∈[-1,1],
          ∴f(x)的最大值為2+
          2

          故答案為:(1)4;(2)2+
          2
          點評:此題考查了函數(shù)解析式的求解及常用的方法,函數(shù)的值,二倍角的余弦函數(shù)公式,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及正弦函數(shù)的定義域與值域,弄清題意中的①和②是解本題的關(guān)鍵.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
          ①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
          ②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
          ③y=f(x+1)是偶函數(shù),
          則下列不等式中正確的是(  )

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
          f(x-1)-f(x-2),x>0
          log2(1-x),       x≤0
            則:
          ①f(3)的值為
          0
          0
          ,
          ②f(2011)的值為
          -1
          -1

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時f(x)=
          1,(-1<x≤0)
          -1,(0<x≤1)
          ,則f(3)=( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當f(-3)=-2時,f(2013)的值為( 。
          A、-2B、2C、4D、-4

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,則f(2013)=(  )
          A、0B、2013C、3D、-2013

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