Question

設(shè)0＜θ＜，曲線x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ-y²sinθ=1有4個不同的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）證明這4個交點(diǎn)共圓，并求圓半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）聯(lián)立方程，組成方程組，有4個不同交點(diǎn)等價于x²＞0，且y²＞0，即可求θ的取值范圍；
（Ⅱ）確定圓的圓心在原點(diǎn)，半徑為，從而可求圓半徑的取值范圍．
解答：（I）解：兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）滿足方程組即
有4個不同交點(diǎn)等價于x²＞0，且y²＞0，即
又因為，所以得θ的取值范圍為（0，．
（II）證明：由（I）的推理知4個交點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）滿足方程，
即得4個交點(diǎn)共圓，該圓的圓心在原點(diǎn)，半徑為．
因為cosθ在上是減函數(shù)，所以由，
知r的取值范圍是．
點(diǎn)評：本小題主要考查坐標(biāo)法、曲線的交點(diǎn)和三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，以及邏輯推理能力和運(yùn)算能力．