Question

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在過(guò)去100天內(nèi)的銷(xiāo)售量和銷(xiāo)售價(jià)格均為時(shí)間t（天）的函數(shù)，且日銷(xiāo)售量近似的滿(mǎn)足g（t）=-

1

3

t+

112

3

（1≤t≤100，t∈N^*），前40天價(jià)格為f（t）=

1

4

t+22（1≤t≤40，t∈N^*），后60天價(jià)格為f（t）=

1

2

t+52（41≤t≤100，t∈N^*）．試求該商品的日銷(xiāo)售額S（t）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可對(duì)t分1≤t≤40，t∈N^*時(shí)，與41≤t≤100，t∈N^*時(shí)兩種情況下可分別求得S（t）=g（t）f（t）的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間之間的關(guān)系利用函數(shù)的單調(diào)性
即可求得該商品的日銷(xiāo)售額S（t）的最大值和最小值．

解答：解：當(dāng)1≤t≤40，t∈N^*時(shí)，
S（t）=g（t）f（t）
=（-

1

3

t+

112

3

）（

1

4

t+22）
=-

1

12

（t-12）²+

2500

3

，
∴768=S（40）≤S（t）≤S（12）=

112×22

3

+12=

2500

3

…6分
當(dāng)41≤t≤100，t∈N^*時(shí)，
S（t）=g（t）f（t）
=（-

1

3

t+

112

3

）（-

1

2

t+52）
=

1

6

（t-108）²-

8

3

，
∴8=S（100）≤S（t）≤S（41）=

1491

2

…12分
∴S（t）的最大值為

2500

3

，最小值為8…14分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，突出考查二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．