Question

已知α，β為銳角，且sinα=

3

5

，tan（α-β）=-

1

3

．求cosβ的值．

Answer 1

分析：由α，β為銳角，根據tan（α-β）的值小于0，判斷出α-β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（α-β）與cos（α-β）的值，再由sinα的值求出cosα的值，將cosβ變形為cos[α-（α-β）]，再利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：∵α，β∈（0，

π

2

），∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

，
∵tan（α-β）=-

1

3

＜0，∴-

π

2

＜α-β＜0，
∴sin（α-β）=-

10

10

，cos（α-β）=

3 10

10

，
∵α為銳角，sinα=

3

5

，∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

4

5

×

3 10

10

+

3

5

×（-

10

10

）=

9 10

50

．

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的余弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．