Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）設，若且有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上是增函數；當時，在，上是增函數，在上是減函數.（2）

【解析】

（1）求定義域以及導數，對參數進行分類討論，求解對應情況下的單調性即可；

（2）由（1）中所得，可知的解析式，根據的單調性，將零點問題轉化為圖像相交的問題，數形結合，求解參數范圍.

（1）的定義域為，，

，

對于，，

當時，，

則在上是增函數.

當時，

對于，有，則在上是增函數.

當時，

令，得或，

令，得，

所以在，上是增函數，

在上是減函數.

綜上，當時，在上是增函數；

當時，在，上是增函數，

在上是減函數.

（2）由已知可得，

因為，所以，而，所以，

所以，所以在上單調遞增.

所以.

故有兩個零點，等價于

=在內有兩個零點.

等價于有兩根，

顯然不是方程的根，

因此原方程可化為，

設，，

由解得，或

由解得，

故在上單調遞減，在上單調遞增.

其圖像如下所示：

所以，

所以，

所以.