Question

在120°的二面角P-a-Q的兩個面P和Q內(nèi)，分別有點(diǎn)A和點(diǎn)B 已知點(diǎn)A和點(diǎn)B到棱a的距離分別為2和4，且線段AB=10，
（1）求直線AB和棱a所成的角；
（2）求直線AB和平面Q所成的角．

Answer 1

分析：（1）如圖所示，在平面P內(nèi)作直線AD⊥a于點(diǎn)D，在平面Q內(nèi)，作直線BE⊥a于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DC⊥a，與從點(diǎn)B作CB∥a相交于點(diǎn)C．∠ABC等于AB和a所成的角，∠ADC為兩面角P-a-Q的平面角，
利用余弦定理即可得到AC，由a⊥平面ACD，BC∥a即可得到BC⊥平面ACD，在直角△ABC中求出sin∠ABC即可；
（2）在△ACD所在的平面內(nèi)，作AF⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)F，利用面面垂直的性質(zhì)即可證明AF⊥平面Q，從而得到∠ABF是直線AB和平面Q所成的角．

解答：解：（1）在平面P內(nèi)作直線AD⊥a于點(diǎn)D，在平面Q內(nèi)，作直線BE⊥a于點(diǎn)E，
從點(diǎn)D作a的垂線與從點(diǎn)B作a的平行線相交于點(diǎn)C．
∴∠ABC等于AB和a所成的角，
∠ADC為兩面角P-a-Q的平面角，
∴∠ADC=120°，
又AD=2，BCDE為矩形，∴CD=BE=4．
連接AC，由余弦定理得AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=2²+4²-2×2×4×cos120°=28．
∴AC=2

7

．
又∵AD⊥a，CD⊥a，∴a⊥平面ACD，
∵BC∥a，∴BC⊥平面ACD，
∴BC⊥AC．
在直角△ABC中，sin∠ABC=

AC

AB

=

7

5

，
∴∠ABC=arcsin

7

5

．
（2）在△ACD所在的平面內(nèi)，作AF⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)F．
∵平面ACD⊥平面Q，∴AF⊥平面Q．
在△ADF中，∠ADF=60°，AD=2，∴AF=2sin60°=

3

．
連接BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，
在△ABF為直角三角形，
∴sin∠ABF=

AF

AB

=

3

10

．∠ABF=arcsin

3

10

．

點(diǎn)評：熟練掌握線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理、線面角、異面直線所成的角、余弦定理及常作的輔助線是解題的關(guān)鍵．