Question

已知f(x)=sin2(x-

π

6

)+sin2(x+

π

6

)+

3

sinxcosx．
（1）求f（x）的最大值以及取得最大值時(shí)自變量x的取值構(gòu)成的集合；
（2）當(dāng)自變量x∈[-

π

12

，

5π

12

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，兩角和及差的正弦及余弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為sin(2x-

π

6

)+1，然后求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（2）根據(jù)x的范圍確定2x-

π

6

的范圍，進(jìn)而利用正弦定理的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，求得函數(shù)的值域．

解答：解：f(x)=

1-cos(2x- π 3 )

2

+

1-cos(2x+ π 3 )

2

+

3

2

sin2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1
=sin(2x-

π

6

)+1．                      …（6分）
（1）f（x）_max=2，
當(dāng)2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

3

（k∈Z）．
故f（x）取得最大值時(shí)自變量x的取值構(gòu)成的集合是{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}．…（10分）
（2）因?yàn)?span id="soaldgj" class="MathJye">x∈[-

π

12

，

5π

12

]，所以2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，…（12分）
所以sin(2x-

π

6

)∈[-

3

2

，1]，
所以f（x）的值域?yàn)?span id="enn7uhw" class="MathJye">[-

3

2

+1，2]．                     …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值、正弦函數(shù)的定義域和值域的求法，考查計(jì)算能力，基本知識(shí)掌握的熟練程度，高考�？碱}型．