Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線(xiàn)與以點(diǎn)A(0，

2

)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）若Q是雙曲線(xiàn)C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線(xiàn)C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F₁引∠F₁QF₂的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=kx，根據(jù)題意可得k=±1，所以雙曲線(xiàn)C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1，C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，可得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若Q在雙曲線(xiàn)的右支上，則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；若Q在雙曲線(xiàn)的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF₁|，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義|TF₂|=2，再利用相關(guān)點(diǎn)代入法求出軌跡方程即可．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=kx，即kx-y=0
∵該直線(xiàn)與圓 x2+(y-

2

)2=1相切，
∴雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)方程為y=±x…（3分）
故設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1，又∵雙曲線(xiàn)C的一個(gè)焦點(diǎn)為(

2

，0)
∴2a²=2，a²=1，∴雙曲線(xiàn)C的方程為x²-y²=1…（6分）
（2）若Q在雙曲線(xiàn)的右支上，則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT|=|OF₁|
若Q在雙曲線(xiàn)的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF₁|…（8分）
根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義|TF₂|=2，所以點(diǎn)T在以F₂(

2

，0)為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是(x-

2

)2+y2=4(x≠0)①…（10分）
由于點(diǎn)N是線(xiàn)段F₁T的中點(diǎn)，設(shè)N（x，y），T（x_T，y_T）
則

x= xT- 2 2 y= yT 2

，，即

xT=2x+ 2 yT=2y

…（12分）
代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為 x2+y2=1，(x≠

2

2

)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)與定義，以及求軌跡方程的方法（如相關(guān)點(diǎn)代入法）．