Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，且a₃=4，S₄=s₂+12，求：
（1）首項(xiàng)a₁及公比q的值；
（2）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）直接利用a₃=4，S₄=s₂+12，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的等式，即可求出首項(xiàng)a₁及公比q的值；
（2）利用（1）的結(jié)論，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）由S₄-S₂=12，得a₃+a₄=12，則a₄=8
故q=

a4

a3

=

8

4

=2，a1=

a3

q2

=1（5分）
（2）由（1）知：數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
a_n=2^n-1，b_n=n•2^n-1，

∴Tn=b1+b2+b3+bn=1+2•2+3•22++n•2n-1 2Tn=2+2•22+3•23++(n-1)•2n-1+n•2n Tn=(n-1)2n+1

故數(shù)列數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n為（n-1）2ⁿ+1（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題的第二問(wèn)主要考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．錯(cuò)位相減法主要應(yīng)用與一等差數(shù)列與一等比數(shù)列相乘組成的新數(shù)列．