Question

【題目】點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，軸，為垂足，點(diǎn)在線段上，滿足．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） ;（2）.

【解析】

試題分析：（1）由條件可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以根據(jù)求什么設(shè)什么的原則，設(shè)點(diǎn)，則，代入方程，可求得點(diǎn)的軌跡方程；（2）此題為直線與橢圓相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用點(diǎn)是兩點(diǎn)的中點(diǎn)，可求得直線的斜率，即得直線方程.

試題解析：（1）∵點(diǎn)在線段上，滿足，∴點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

設(shè)，則，

∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則，即，

∴點(diǎn)的軌跡方程為．

（2）當(dāng)直線軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可得弦的中點(diǎn)在軸上，不可能是點(diǎn)，這種情況不滿足題意．

設(shè)直線的方程為，

由可得，

由韋達(dá)定理可得，

由的中點(diǎn)為，可得，解得，

即直線的方程為，∴直線的方程為．