Question

已知函數(shù)f（x）=ke^x-x²（其中k∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若k=-2，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），求k的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試證明0＜f（x₁）＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意知x₁、x₂是方程f′（x）=0的兩個根，令φ(x)=

2x

ex

，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)φ（x）的單調(diào)區(qū)間，繼而得到k的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f′（x₁）=0，則得k=

2x1

ex1

，又由f（x₁）=-（x₁-1）²+1，x₁∈（0，1），即可得到0＜f（x₁）＜1．

解答：解：（Ⅰ）若k=-2，f（x）=-2e^x-x²，則f'（x）=-2e^x-2x，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）=-2e^x-2x＜0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，則x₁，x₂是f′（x）=ke^x-2x=0的兩個根，
即方程k=

2x

ex

有兩個根，設(shè)φ(x)=

2x

ex

，則φ′(x)=

2-2x

ex

，
當(dāng)x＜0時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）＜0；
當(dāng)0＜x＜1時，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增且φ（x）＞0；
當(dāng)x＞1時，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減且φ（x）＞0．
要使k=

2x

ex

有兩個根，只需0＜k＜φ(1)=

2

e

，
故實數(shù)k的取值范圍是(0，

2

e

)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函數(shù)f（x）的兩個極值點x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂，
由f′(x1)=kex1-2x1=0，得k=

2x1

ex1

，
所以f(x1)=kex1-

x

2 1

=

2x1

ex1

ex1-

x

2 1

=x1(2-x1)=-

x

2 1

+2x1=-(x1-1)2+1，
由于x₁∈（0，1），故0＜-(x1-1)2+1＜1，
所以0＜f（x₁）＜1．

點評：本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)取值與利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立的問題，是容易出錯的題目．