Question

（附加題-選做題）（坐標系與參數(shù)方程）
已知曲線C的參數(shù)方程為

x=sinα y=cos2α

，α∈[0，2π），曲線D的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=-

2

．
（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）曲線C與曲線D有無公共點？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由

x=sinα y=cos2α

，α∈[0，2π），利用三角函數(shù)的平方關(guān)系消去參數(shù)α即得x²+y=1，x∈[-1，1]．
（2）由ρsin(θ+

π

4

)=-

2

．利用三角函數(shù)的和角公式展開，得曲線D的普通方程為x+y+2=0，欲曲線C與曲線D有無公共點，主要看它們組成的方程有沒有實數(shù)解即可．

解答：解：（1）由

x=sinα y=cos2α

，α∈[0，2π），得x²+y=1，x∈[-1，1]．
（2）由ρsin(θ+

π

4

)=-

2

．
得曲線D的普通方程為x+y+2=0

x+y+2=0 x2+y=1

得x²-x-3=0
解x=

1± 13

2

∉[-1，1]，故曲線C與曲線D無公共點．

點評：本小題主要考查簡單曲線的極坐標方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．