Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)到拋物線C準(zhǔn)線的距離為4，則p的值為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由點(diǎn)差法得到

y1-y2

x1-x2

•（y₁+y₂）=2p，因?yàn)檫^拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，所以

y1-y2

x1-x2

=1，AB方程為：y=x-

p

2

，故y₁+y₂=2p，AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

3p

2

，再由線段AB的中點(diǎn)到拋物線C準(zhǔn)線的距離為4，能求出p．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y12=2px1，① y22=2px2，②

①-②，得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
∴

y1-y2

x1-x2

•（y₁+y₂）=2p，
∵過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，
∴

y1-y2

x1-x2

=1，AB方程為：y=x-

p

2

，
∵

y1+y2

2

為AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)，
∴y₁+y₂=2p，
∵y1=x1-

p

2

，y2=x2-

p

2

，
∴y₁+y₂=x₁+x₂-p，
∴x₁+x₂=y₁+y₂+p，
∵

x1+x2

2

=

(y1+y2+p)

2

=

3p

2

，
∴AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

3p

2

，
∵線段AB的中點(diǎn)到拋物線C準(zhǔn)線的距離為4，
∴

p

2

+

3p

2

=4，解得p=2．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．