Question

已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
（1）求m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
∴函數(shù)為奇函數(shù)，滿(mǎn)足f（-x）+f（x）=0，即+=0對(duì)定義域內(nèi)任意x都成立，
即=log_a1，=1對(duì)定義域內(nèi)任意x都成立，
∴m²=1，得m=±1，經(jīng)檢驗(yàn)m=1不符合題意舍去，所以m的值為-1；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）是（1，+∞）的增函數(shù)；當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）是（1，+∞）的減函數(shù)，證明如下
由（1）得，（x＞1）
設(shè)t=，再令1＜x₁＜x₂，則t₁=，t₂=，
可得t₁-t₂=-=＞0，有t₁＞t₂，
∴函數(shù)t=是（1，+∞）上的減函數(shù)．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）是（1，+∞）的增函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）是（1，+∞）的減函數(shù)．
分析：（1）由題意得，f（x）是奇函數(shù)，得f（-x）+f（x）=0，代入解析式再用比較系數(shù)法，可得m=-1；
（2）令對(duì)數(shù)的真數(shù)為t，利用單調(diào)性的定義可以證出t（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，再用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得原函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性．
點(diǎn)評(píng)：本題給出真數(shù)為分式對(duì)數(shù)型函數(shù)，并研究它的單調(diào)性與奇偶性，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等常見(jiàn)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．