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        1. (2013•青島一模)已知向量
          m
          =(ex,lnx+k)
          ,
          n
          =(1,f(x))
          ,
          m
          n
          (k為常數(shù),e是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸垂直,F(xiàn)(x)=xexf′(x).
          (Ⅰ)求k的值及F(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)已知函數(shù)g(x)=-x2+2ax(a為正實數(shù)),若對于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求實數(shù)a的取值范圍.
          分析:(I)利用向量平行的條件求出函數(shù)y=f(x),再求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,說明f(1)=0,則k值可求;從而得出F(x)的解析式,求出函數(shù)F(x)的定義域,然后讓導(dǎo)函數(shù)等于0求出極值點,借助于導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間.
          (II)對于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),等價于g(x)max<F(x)max,再求得F(x)取得最大值;利用二次函數(shù)的圖象,對a進(jìn)行分類討論,得出g(x)在[0,1]上的最大值,由g(x)在[0,1]上的最大值小于F(x)max得a的范圍,結(jié)合分類時a的范圍得a的取值范圍.
          解答:解:(I)由已知可得:f(x)=
          1nx+k
          ex
          ,
          f′(x)=
          1
          x
          -lnx-k
          ex
          ,
          由已知,f′(1)=
          1-k
          e
          =0
          ,
          ∴k=1…(2分)
          ∴F(x)=xexf'(x)=x(
          1
          x
          -lnx-1)=1-xlnx-x

          所以F'(x)=-lnx-2…(3分)
          F′(x)=-lnx-2≥0⇒0<x≤
          1
          e2
          ,
          F′(x)=-lnx-2≤0⇒x≥
          1
          e2

          ∴F(x)的增區(qū)間為(0,
          1
          e2
          ]
          ,減區(qū)間為[
          1
          e2
          ,+∞)
          …(5分)
          (II)∵對于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),
          ∴g(x)max<F(x)max…(6分)
          由(I)知,當(dāng)x=
          1
          e2
          時,F(xiàn)(x)取得最大值F(
          1
          e2
          )=1+
          1
          e2
          .…(8分)
          對于g(x)=-x2+2ax,其對稱軸為x=a
          當(dāng)0<a≤1時,g(x)max=g(a)=a2,
          a2<1+
          1
          e2
          ,從而0<a≤1…(10分)
          當(dāng)a>1時,g(x)max=g(1)=2a-1,
          2a-1<1+
          1
          e2
          ,從而1<a<1+
          1
          2e2
          …(12分)
          綜上可知:0<a<1+
          1
          2e2
          …(13分)
          點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值,屬于難題.
          練習(xí)冊系列答案
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          2
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          x2+y2≤4
          x-y+2≥0
          y≥0
          ,則目標(biāo)函數(shù)z=-2x+y的最大值是
          4
          4

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          2
          ,記動點C的軌跡為曲線W.
          (Ⅰ)求W的方程;
          (Ⅱ)曲線W上是否存在這樣的點P:它到直線x=-1的距離恰好等于它到點B的距離?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
          (Ⅲ)設(shè)E曲線W上的一動點,M(0,m),(m>0),求E和M兩點之間的最大距離.

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