Question

（2013•青島一模）已知向量

m

=(ex，lnx+k)，

n

=(1，f(x))，

m

∥

n

（k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直，F(xiàn)（x）=xe^xf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=-x²+2ax（a為正實(shí)數(shù)），若對(duì)于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用向量平行的條件求出函數(shù)y=f（x），再求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f^′（1）=0，則k值可求；從而得出F（x）的解析式，求出函數(shù)F（x）的定義域，然后讓導(dǎo)函數(shù)等于0求出極值點(diǎn)，借助于導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號(hào)求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間．
（II）對(duì)于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），等價(jià)于g（x）_max＜F（x）_max，再求得F（x）取得最大值；利用二次函數(shù)的圖象，對(duì)a進(jìn)行分類討論，得出g（x）在[0，1]上的最大值，由g（x）在[0，1]上的最大值小于F（x）_max得a的范圍，結(jié)合分類時(shí)a的范圍得a的取值范圍．

解答：解：（I）由已知可得：f（x）=

1nx+k

ex

，
∴f′(x)=

1 x -lnx-k

ex

，
由已知，f′(1)=

1-k

e

=0，
∴k=1…（2分）
∴F（x）=xe^xf'（x）=x(

1

x

-lnx-1)=1-xlnx-x，
所以F'（x）=-lnx-2…（3分）
由F′(x)=-lnx-2≥0⇒0＜x≤

1

e2

，
由F′(x)=-lnx-2≤0⇒x≥

1

e2

∴F（x）的增區(qū)間為(0，

1

e2

]，減區(qū)間為[

1

e2

，+∞)…（5分）
（II）∵對(duì)于任意x₂∈[0，1]，總存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），
∴g（x）_max＜F（x）_max…（6分）
由（I）知，當(dāng)x=

1

e2

時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值F(

1

e2

)=1+

1

e2

．…（8分）
對(duì)于g（x）=-x²+2ax，其對(duì)稱軸為x=a
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g(x)max=g(a)=a2，
∴a2＜1+

1

e2

，從而0＜a≤1…（10分）
當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）_max=g（1）=2a-1，
∴2a-1＜1+

1

e2

，從而1＜a＜1+

1

2e2

…（12分）
綜上可知：0＜a＜1+

1

2e2

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，屬于難題．