Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，它的上頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，直線AF₁，AF₂分別交橢圓于點B，C．
（1）求證直線BO平分線段AC；
（2）設點P（m，n）（m，n為常數(shù)）在直線BO上且在橢圓外，過P的動直線l與橢圓交于兩個不同點M，N，在線段MN上取點Q，滿足

MP

NP

=

MQ

QN

，試證明點Q恒在一定直線上．

Answer 1

分析：（1）利用離心率計算公式e=

c

a

=

3

3

，及b²=a²-c²=2c²，可以用c表示a，b，即可表示橢圓的標準方程，進而得到點A，F(xiàn)₁的坐標；與橢圓的方程聯(lián)立即可解得點B的坐標，利用對稱性即可得到點C的坐標，利用中點坐標公式即可得到相等AC的中點坐標，滿足直線BO的方程即可；
（2）設過P的直線l與橢圓交于兩個不同點的坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點Q（x，y），可得2

x

2 1

+3

y

2 1

=6c2，2

x

2 2

+3

y

2 2

=6c2．設

MP

NP

=

MQ

QN

=λ，則

MP

=λ

NP

，

MQ

=λ

QN

，利用向量相等即可得到m，n，x，y用x₁，y₁，x₂，y₂，λ表示，進而得到2mx+3ny為常數(shù)即可．

解答：證明：（1）由題意，e=

c

a

=

3

3

，則a=

3

c，b²=a²-c²=2c²，
故橢圓方程為

x2

3c2

+

y2

2c2

=1，
即2x²+3y²-6c²=0，其中A(0，

2

c)，F(xiàn)₁（-c，0），
∴直線AF₁的斜率為

2

，此時直線AF₁的方程為y=

2

(x+c)，
聯(lián)立

2x2+3y2-6c2=0 y= 2 (x+c)

得2x²+3cx=0，解得x₁=0（舍）和x2=-

3

2

c，即B(-

3

2

c，-

2

2

c)，
由對稱性知C(

3

2

c，-

2

2

c)．
直線BO的方程為y=

2

3

x，
線段AC的中點坐標為(

3

4

c，

2 c

4

)，
AC的中點坐標滿足直線BO的方程，即直線BO平分線段AC．
（2）設過P的直線l與橢圓交于兩個不同點的坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點Q（x，y），
則2

x

2 1

+3

y

2 1

=6c2，2

x

2 2

+3

y

2 2

=6c2．
設

MP

NP

=

MQ

QN

=λ，則

MP

=λ

NP

，

MQ

=λ

QN

，
求得m=

x1-λx2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，n=

y1-λy2

1-λ

，y=

y1+λy2

1+λ

，
∴mx=

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

，ny=

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

，
∴2mx+3ny=

2 x 2 1 -2λ2 x 2 2 +3 y 2 1 -3λ2 y 2 2

1-λ2

=

2 x 2 1 +3 y 2 1 -λ2(2 x 2 2 +3 y 2 2 )

1-λ2

=

6c2-6c2λ2

1-λ2

=6c²，
由于m，n，C為常數(shù)，所以點Q恒在直線2mx+3ny-6c²=0上．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、向量共線等基礎知識與方法，需要較強的推理能力與計算能力．